2.开启篇章的数列极限
“既然你已经学习过了数列，那么我们来举一个数列极限的例子。”Isle说，“譬如这扇窗户。”他指向那扇向阳的窗说：“假设从今天起，我们每天都用布遮住透光部分的一半，那么会发生什么？”
“那么无论用多少天，我们也无法完全遮住那扇窗户。’矽回答道。
“没错，”Isle说，“无论过多少天，无论我们盖了多少块布，也总有一束光会从留下的小空中透入。如果我们把整个窗户的面积设为1cr^2，那么就可以列出每天余下的透光部分的面积，可以得出一个数列{1/2^n}，单位是cr^2。”说着，Isle在纸上写下了式子。
“不难看出，”Isle继续说，“如果n无限地增大，通项‘1/2^n’的值就会无限地接近0，那么我们就称‘0’为数列{1/2^n}的极限。”
“这就是极限的定义吗？”矽微微一笑，“看起来好像很简单的样子。为什么数学院会研究这么久还没有结果呢？”
“对一个理论的严密性的论证是很重要的，一些关键性的东西的论证甚至需要几百年，我刚才说的只是主观理解的皮毛而已，这个你以后就会明白了罢。”Isle说，继续讲解，“一般地说，对于数列{a_n}，若当n无限增大时，通项‘a_n’能无限接近于某个常数‘a’，我们就叫这个数列为收敛数列，称‘a’为它的极限。反之就是发散数列。”
“接下来，我要给出一个严密的定义。”Isle说着，看向矽，“这个定义很重要，是一个基础，所以你要完全地理解它。”
“嗯。”矽说。
“设{a_n}为一个数列，”Isle一边说一边在纸上写下定理，“a为定数。若对任给的正数ε（Epsilon），总存在正整数N，使得当n>N时有‘|a_n-a|<ε’，则称数列{a_n}收敛与a，定数a称为数列{a_n}的极限，并记作：lim(n→∞)a_n=a或a_n→a (n→∞)。这个定义也被称为‘ε-N定义’。”
“ε-N定义……当n趋于无穷大时，{a_n}的极限等于a？”
“没错，这就是它的读法。”Isle说。
“那‘lim’是什么意思？”矽问，“为什么用‘∞’而不用‘+∞’呢？”
“你的问题提得不错，”Isle笑答，“‘lim’是我们那边另一种语言（拉丁文）‘limes’，即‘极限’一词的缩写。而用‘∞’却不用‘+∞’的原因是在数列中n只能取正整数所以把它简化了。”
“原来是这样。”矽说，又回头看着上面的式子，“果然还是有点抽象啊。”
“那我们不妨观察一下式子，”Isle说，“‘|a_n-a|’可以理解为‘a’与‘a_n’的差距，那么ε的作用就在于衡量‘a’与‘a_n’的接近程度，ε越小就表示‘a’与‘a_n’越接近。而在条件中ε为正数，因此ε可以任意小，这便是它的任意性。尽管如此，我们在证明极限时ε一经给出就成为了定值，因为我们需要通过它来确定‘N’。”
“N。”矽依然有不明白的地方，“那么N有什么用呢？为什么说N存在才有极限的存在呢？”
“我们可以从几何意义上去理解N。”Isle说。
“几何意义？”矽挠挠头，看向了纸上的公式。
“没错，”Isle说，“从几何意义上看，当n>N时有‘|a_n-a|<ε’，意味着所有下标大于N的项‘a_n’都落在领域U(a;ε)内，即{a_(N+1) a_(N+2) a_(N+3)… a_n}(≤{x|a-ε<x<a+ε}（‘（≤’为‘含于’符号）。同时在U(a;ε)外，数列{a_n}中的项至多有N个（N为正整数，即为有限个）。”
“嗯…差不多可以理解但还是举个例子吧。”矽说。
“好。”Isle又拿起了笔，“引用刚才的例子，我们考察一下数列{1/2^n}。我们已经知道lim(n→∞)(1/2^n)=0，所以|1/2^n-0|<ε。设ε为1/16，所以1/2^n<1/16，可以得出n>4，因此存在N最大为4。倘令ε减小，取1/256、1/1024…那么N都相应存在有8、10…如果ε趋于0，所取的N既可以趋近无穷大，所以1/2^n趋近于0。反之，如果令|1/2^n-1|<ε，可以得出n<log_216/15（以2为底16/15的对数），显然不存在有可以确定的正整数N<n了。那么在区间（15/1617/16）之外有不可计数个项，即a_n可以小于1（其实是小于15/16），所以1不是{1/2^n}的极限。”
“嗯，我懂了！”矽顿悟，“因为把窗户完全遮起来是一个极限，所以在完全把窗户遮起来也就是达到这个极限之前（就算永远也达不到），贴上布的次数一定是有限的。”
“不错，”Isle说，“既然你已经理解到这个程度了，就由你自己来证明一个式子吧。lim(n→∞)(1/n^2)=0。”
“嗯，我试试。”说着，矽开始在纸上证明起来：
∵|1/n^2-0|=1/n^2 又n>N
∴1/n^2<1/N^2<ε 可以推出N>√(1/ε)
∴存在N=[√(1/ε)]+1>√(1/ε)使|1/n^2-0|<ε
∴lim(n→∞)(1/n^2)=0
（注：[f(x)]为高斯函数，取整运算，[3.14]=3、[-5.4]=-6）
在矽写下最后一笔的那一刻，一种莫名的力量从他的头部开始蔓延，这种奇怪的感觉霎时间充满了全身，就如千万只蚂蚁在组织间杂乱无章地爬动，他不禁打了个寒颤，握紧了手中的铅笔。“咔”的一声，铅笔断裂成两截，滚落在桌上。
“这……这就是我的特长吗？”矽惊叹，“瞬间身体强化型？”
“看起来好像是这样，”Isle说，“不过从名称上来看的话……‘极限’这个词似乎也挺合适的。”
“不过一般的特长都是对原有的能力进行加强，”矽说，“而我的特长却不是提升数学能力，反倒是提升了身体机能。”
“我倒是觉得，通过数学学习让你领悟自己的特长便是你的特长。”Isle说，“既然这样你就再尝试一下使用你的特长吧。”
“嗯。”矽尝试着再一次找到刚才使用特长的感觉。
“……”
“没有什么感觉。”矽说。
“是不是有什么原因呢？”Isle摸了摸下巴，注意到了方才的纸。
“对了。是‘吟唱’吧！”Isle突发奇想。
“你的意思是……”
“在口中默念‘极限’之类的话应该可以放出能量吧。”Isle说。
“那我再试一下。”矽于是把自己浸入一种求极限的状态之中。然后，他张开嘴，吟唱道：“limes，n→∞！”顿时，那股力量再次从脑部扩散开来，矽举起右手，一掌拍在身旁的墙上。一阵颤动，随着木制家具摇摆产生的咯吱声，墙上，地上，床上的大颗粒的灰尘都脱离了表面，浮散在空气中，闪耀在阳光下。
“你做到了。”Isle说。
“嗯，Isle，请教我更多的数学吧！”矽兴奋地说道，眼中满是对未来的期望。
“好，”Isle笑着拍了拍矽的肩，“不过希望你家里还有容我住的房间。”
“当然，我父母的房间还空着呢。”矽说，“他们可不会介意了。”
“完美，”Isle说道，“终于可以安顿下来了。不过……现在什么时间了？”
“早上9:00。”矽说，“还很早呢。”
“对了，”Isle说，“早上好像打断了你的劳动，你所种的是什么特殊品种的麦子吗？”
“没错。”矽一谈起农学也很是自信，“普通的麦，想Wh麦和Shir麦都是作粮食的，有专业的大农场，我一个人种当然不赚钱。因此我选择了特殊的魔量作物，顾名思义就是食用或提炼可以得到魔量的作物。”
“‘魔量’就是这个地方使用特长所需要的能量吧。”Isle说。
“没错，普通食物只提供微量的魔量，而我所种植的Aka麦和Pur麦，但从魔量生产量考虑可以分别富集25、32mag/(cr^2*y)（每cr^2土地上每年可以富集的魔量）。”矽说，“这种作物需要精心培养，卖给专业的提炼铺也可以得到足够的收益……那我先去劳作了。”
“嗯，”Isle说，“旁边那个叫Acdemon城是吧。”
“对。”
“我先去逛一逛，中午应该可以回来。”Isle说。
Twost滞留之地提示您：看后求收藏（卧龙小说网http://www.wolongxs.com），接着再看更方便。
好书推荐：《等我穿上小裙子你们就完蛋啦》、《好感度破亿的病娇缠上我了》、《我穿越到了全是女生的世界》、《我穿越到全是女孩子的世界》、《夜的命名术》、《无尽宇宙探索指南》、《深空彼岸》、《玲珑塔》、《星门》、《重启灾变》、
